Polynôme de Jacobi

En mathématiques, les polynômes de Jacobi sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie :

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha 1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1 \alpha \beta n;\alpha 1;{\frac {1-z}{2}}\right),}$

où ${\displaystyle (\alpha 1)_{n}\,}$ est le symbole de Pochhammer pour la factorielle croissante, (Abramowitz & Stegun p561.) et ainsi, nous avons l'expression explicite

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha n 1)}{n!\Gamma (\alpha \beta n 1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha \beta n m 1)}{\Gamma (\alpha m 1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}$

pour laquelle la valeur finale est

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n \alpha \choose n}.}$

Ici, pour l'entier ${\displaystyle n\,}$

${\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z 1)}{\Gamma (n 1)\Gamma (z-n 1)}},}$

et ${\displaystyle \Gamma (z)\,}$ est la fonction gamma usuelle, qui possède la propriété ${\displaystyle 1/\Gamma (n 1)=0\,}$ pour ${\displaystyle n=-1,-2,\dots \,}$. Ainsi,

${\displaystyle {z \choose n}=0\quad {\hbox{pour}}\quad n<0.}$

Les polynômes ont la relation de symétrie ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z)}$ ; ainsi, l'autre valeur finale est

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n \beta \choose n}.}$

Pour un nombre réel ${\displaystyle x}$, le polynôme de Jacobi peut aussi être écrit sous la forme

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n \alpha \choose s}{n \beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x 1}{2}}\right)^{s}}$

où ${\displaystyle s\geq 0\,}$ et ${\displaystyle n-s\geq 0\,}$.

Dans le cas particulier où les quatre quantités ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n \alpha }$, ${\displaystyle n \beta }$ et ${\displaystyle n \alpha \beta }$ sont des nombres entiers positifs, le polynôme de Jacobi peut être écrit sous la forme

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n \alpha )!(n \beta )!\sum _{s}\left[s!(n \alpha -s)!(\beta s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x 1}{2}}\right)^{s}.}$

La somme sur ${\displaystyle s\,}$ s'étend sur toutes les valeurs entières pour lesquelles les arguments des factorielles sont positives.

Cette forme permet l'expression de la matrice D de Wigner ${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )\;}$ (${\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }$) en termes de polynômes de Jacobi

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j m)!(j-m)!}{(j m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m m'}P_{j-m}^{(m-m',m m')}(\cos \phi ).}$

Dérivées

La ${\displaystyle k}$-ème dérivée de l'expression explicite conduit à

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha \beta n 1 k)}{2^{k}\Gamma (\alpha \beta n 1)}}P_{n-k}^{(\alpha k,\beta k)}(z).}$

Références

Articles connexes

• Polynôme de Gegenbauer
• Inégalité d'Askey-Gasper

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Jacobi Polynomial », sur MathWorld
• (en) T. H. Koornwinder, R. Wong, R. Koekoek et R. F. Swarttouw, « Orthogonal Polynomials », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)

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